偏导符号（该怎么观测我们的时空）

#头条创作挑战赛#

中学物理书上说过，物理是一门观察与实验的学科。

如果在物理领域选一句最重要的话，那么一定是上面这一句。

观察，就是看。

实验，就是测量，因为实验的目的就是为了测量实验结果。

所以，我是谁，我在哪里，我看到了什么，为什么？[捂脸]

这就是物理的起源。

我，当然是被困在时空中的！

所以，我不具有高维度的视角！

所以，在看物理问题的时候，一定不要具有高维的视角：就跟写代码一样，不能拿人的思维灵活度去看待电脑，否则代码写不出来[呲牙]

一定要把自己代入CPU的视角，CPU不知道1, 2, 3, 4, 5该怎么排序，CPU只知道3比2更大！

CPU是被困在代码里的蚂蚁，人何尝不是被困在宇宙里的蚂蚁呢？！

所以，被困在地球表面的古代科学家，没法发个卫星到36000千米的高空看看地球的形状时，他该怎么发现地球是圆的呢？

1，测量大地的曲率，

测量地球

如图，他只要测量一下就行了。

古话说，“读万卷书，不如行万里路。”

古代科学家只要瞄准北极星，一直往南走，只要走得够远，就能测量出他走过的距离跟平面几何算出来的距离不一样。

他可以沿着这条弧线测量出很多距离和北极星的高度角来，如果大地是平的，那么他测量的这些点应该在一条直线上：用欧式几何算出来的结果，应该跟实际结果的误差很小。

否则，他就可以推测出，大地是圆的！

他不需要发个卫星去太空看一下，甚至不需要跑到海边去看看帆船进港时是不是先看到风帆，只需要沿着地面测量就行：

校正一下高低起伏导致的误差，这并不难实现，因为隋朝的技术就可以修运河了！

这么测量出来的弧长，是地面生物可以测量到的内禀弧长。

这么测量出来的曲率，是地面生物可以测量到的内禀曲率。

他没有更高维度的视觉，他也不需要！

然后，他就可以告诉哥伦布，你可以开着船一直往西走，也能回到西班牙。

开着帆船航海这么危险的活，当然不能让科学家去做了，只能哥伦布这样的航海家去做：实验物理学家就是干这活的[捂脸]

不要想着直接观察到时空曲率，被困在时空中的你，没有更高维度的视觉，直接观察不到！

人类天然自带3维视觉，古人还觉得天圆地方呢，何况去观察更高的维度！

更高的维度，直接看不出来，也直接画不出来，但可以用矩阵表示出来。

矩阵方程，是困在时空中的低维生物，通向高维时空的唯一办法！

当然不能老是像麦哲伦一样去航海验证，在能算出来的时候，人们还是想算出来的：毕竟几张稿纸不值钱，但船很值钱，而且航海的风险也不小。

2，求椭圆上的弧长，

求椭圆的一段弧长

如果是极坐标的话，弧长的微分的平方是：

如果是直角坐标的，弧长的微分的平方是：

如果以其中的一个为自变量的话，把另一个的微分根据椭圆的方程转化过去，然后再积分，就可以求出弧长了：

弧长的计算，使用的还是勾股定理：a^2 + b^2 = c^2.

1）极坐标系：

在非常小的情况下，认为三角形的斜边就可以表示弧长，而半径的增量就是其中一条直角边，另一条直角边就是圆心角的增量对应的弧长。

2）直角坐标系：显然x、y坐标的增量分别对应2条直角边，也是斜边对应弧长。

对于直角坐标系，dx^2 和 dy^2前面的系数都是1。

对于极坐标系，dr^2 和 前面的系数不都是1。

就是这么一点差别，就被数学家们注意到了！

然后，他们发明了微分几何[捂脸]

3，坐标变换下的不变量，

曲线的弧长，不管用直角坐标系，还是用极坐标系，算出来的结果都该是不变的。

因为变的是坐标系，而不是曲线。

在两套不同的坐标系下，同一段弧长该怎么联系起来？

弧长对应着微分，微分对应着一阶导数。

那么曲线方程的一阶导数在坐标变换下，怎么变？

例如：

那么：

左边是f对极坐标的导数L，右边是f对直角坐标的导数R，写成矩阵方程：

L = JR.

J叫做雅可比矩阵，它是坐标变换时的导数变化规律。

如果给同一个时空，建立了两套坐标系，那么这两套坐标系之间的坐标通过上面的矩阵方程换算，就可以保证时空的几何性质是不变的。

这两套坐标系，也不一定必须是直角坐标和极坐标，也可以是其他坐标，只要空间点的坐标值是一一对应的就行：一一对应，连续，并且存在导数，最好是无穷阶可导[呲牙]

这么一来，人们研究物理的时候就跳出了平直坐标系和欧几里德空间了！

弯曲时空里建立不起来平直坐标系，因为任何东西都被时空影响着。

正是有了黎曼造出来的这一套几何学，爱因斯坦研究广义相对论时不需要像牛顿一样，自己也发明一套微分几何了。

牛顿为了研究万有引力，发明了微积分。

要是爱因斯坦出生的早，或者黎曼出生的晚，或许爱因斯坦也是物理数学双料大牛了。

对于非欧几何的研究，黎曼和高斯的贡献最大，所以有高斯曲率、黎曼几何等名词。

物理上是肯定存在两套参考系的，一个是观察者的参考系，一个是运动物体的参考系，他们之间的换算必须保证物理方程不变。

伽利略变换、洛伦兹变换、诺特定理，都是说的这个特点。

物理上最重要的就是向量，力、速度、加速度都是向量。

那么，向量在坐标变换下，该怎么变化？

4，张量的简介，

在用坐标表述向量时：

1）坐标值是向量在坐标轴上的投影，

2）坐标轴是坐标点的切线，

3）切线是坐标点所在的曲面的导数。

椭圆上的局部坐标系

如上图，在椭球面上的“蚂蚁”怎么建立直角坐标系？

为什么用蚂蚁这个词？

就是在看物理的时候需要忘掉高维度的视觉！

人虽然有3维视觉，但肯定没有4维视觉。

人虽然可以画出2维来，做出3维来，但肯定做不出4维的（模型）来。

人能给出的，只有4维的方程。

所以，站在椭球面上的我们，就在脚下直接建立坐标系：它实际上是沿着椭球面的切线方向，而且在局部的小范围内是近似平直的。

那么，向量在这个坐标系里的坐标(a0, a1, ..., an)，表示的是：

把i同时写在上标或者下标上，表示沿着i求和。

上面表示的是坐标梯度和向量a的数量积，在坐标变换时这个值是不变的，因为它是标量。

公式左边的写法，是爱因斯坦发明的，所以叫爱因斯坦记号。

向量的坐标在两套坐标系之间换算时，也是用雅可比矩阵（两套坐标之间的偏导数）：

这里的i虽然写在指数上，但不表示指数，而是表示第i个坐标。

空间是多少维的，i就有多少个，在广义相对论里是4个。

如果f(x1, x2, ..., xn) = 0，这种曲面叫等势面：它表示一个保守力场，做得功只跟运动物体的起始位置有关，跟运动轨道无关。

引力场，就是这种情况。

离地球同样远的点组成一个等势面：这些点的引力势能一样，叫引力势：引力加速度就是引力势的梯度：

公式1和2的变换矩阵正好是反着的！

因为这2种情况，所以微分几何上把坐标的标号分别写在上面和下面：上面的叫逆变指标，下面的叫协变指标。

它们都对应着坐标变换下的某种不变量！

这些量的运算规律，就是张量运算：算完了之后，上标和下标是对称的。

例如，如果对求梯度的话，在坐标变换之后的形式也得是

重复的上标和下标表示求和，运算之后消去（不重复的留着），T前面的偏导数表示梯度。

看上式的最右边，消掉i和j，剩下的就是i'和j'，其中i'是上标，j'是下标。

5，黎曼联络，

曲线坐标系的张量的导数，在变换时是这样的：

如果

那么

公式3的右边多出来的第2个式子，一般是没法消除的：在欧几里德空间里才是0。

公式4，也就是多出来的那个坐标的混合偏导数，叫克里斯托弗符号。

在黎曼空间里，它叫黎曼联络。

弯曲空间的曲线的弧长微分：

坐标微分的二次项之前的系数，写成矩阵之后就是度规。

所以，在椭球面上的我们，没法建立平直坐标系的情况下，该怎么研究物理？

就是用这种办法，只要在两个参考系之间给出坐标变换的关系，就可以保证物理方程在这两地是通用的。

5，物体在弯曲时空中该怎么运动？

之前说过伽利略的比萨斜塔实验，证明了物体在引力场中的运动跟物体的质量无关。

爱因斯坦的等效原理，进一步确定了引力质量和惯性质量等效、引力场和具有某个加速度的参考系等效。

GMm/r^2 = ma，

去掉m可得：GM/r^2 = a.

而且：GM/r对r的导数是-GM/r^2.

GM/r就是引力势，引力加速度就是它的梯度的相反数。

既然广义相对论把它看成了弯曲时空的几何，那么：

按照牛顿第一定律，物体在弯曲时空中要沿着“弯曲时空里的直线”运动。

弯曲时空里的直线，叫做测地线。

放在椭球面上来说，测地线是两点之间的最短的弧线距离：

它相当于求泛函的极值：

方程f(x,y,z) = 0的约束下。

积分号下的那个式子，就是弧长的微分ds，写成平方的形式就是：

ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2.

这个坐标用的是三维直角坐标系，因为我们看得到三维空间。

在曲线上只有1个坐标是真自变量，另外2个都受到曲面方程的约束：

x,y,z里选1个当自变量、另外两个表示成导数就可以了。

测地线

上面那个方程，欧拉-拉格朗日在18世纪就解出来了。

广义相对论的测地线是4维的。

在弯曲时空里，一直沿着时空的切线运动就是“匀速直线运动”。

虽然在3维里看上去，既不直线，也不匀速。

既不神圣，也不罗马[捂脸]