半立方抛物线（立方倍积问题）

这是一个古老的故事。

公元前400多年，希腊的雅典发生了瘟疫，人们为了消除瘟疫，便向伟大的太阳神求助。

太阳神说，必须将立方体的祭坛加大一倍，疾病就不会再流行。

一位设计师按照神谕，将祭坛的每边增加一倍，放进太阳神庙。

太阳神却勃然大怒，瘟疫更加严重了。因为每边增加一倍，祭坛的体积是原来的八倍，而不是两倍。

那么问题来了，如何才能使立方体祭坛的体积增加一倍呢？

当时最伟大的数学就是几何学，几何学作图使用的工具只有两个：圆规和直尺。

希腊人为什么执着于直尺和圆规呢？

因为圆规和直尺是基本的作图工具，而初等几何的图形也都是由直线和圆弧组成，似乎都可以用直尺和圆规做出来。

其次，希腊的数学，重视思维训练，而对思维训练就要尽可能减少工具，直尺和圆规就是少得不能再少的工具了。

然而，这样一个简单的问题，难倒了所有的希腊数学家。。。包括后来两千年的数学家。

现在我们知道，立方体倍增的问题，只用直尺和圆规是无法完成的。

（尺规作图画的苹果，不是我画的，我抄的）

令人诧异的是，不能完成的证明居然是用代数实现的。

以下证明，仅供欣赏。

我们知道，所谓立方体体积加倍，设原立方体的边长为1，则新立方体的边长为

于是问题转化成：如何作一条长度为

的线段？

以下证明开始：

首先我们知道，使用直尺和圆规，可以做出任意的整数单位长的线段，如长度为3,5,8这样的线段。

于是我们建立一个集合A，将所有正整数放进去。

A={1,2,3,⋯}

然后我们考虑，使用直尺和圆规还可以做多长的线段？我们可以将长度为1的线段任意等分。例如我们可以平分线段，三等分线段，四等分线段……

于是，所有有理数长度的线段也可以做。（具体做法数学佬不想说，保密）

这样，我们能实现的长度集合A又扩大了，现在

有理数集合中的任何长度，我都可以画出来。

比如我要画一条3.5长的线段。

我们可以先画一条长为3的线段

再将长为1的线段二等分

将两条线段接起来即可。

我们还能够做出什么长度的线段呢？嗯，

是可以的，因为我们只要做一个边长为1的正方形，其对角线长就是

同理，我们可以做出任何

长度的线段。

例如

现在，我们又可以将集合A再一次扩大。

对于集合A中的任何一个长度线段，我们都可以通过尺规作图作出来。

做法不赘述。

还有其他数能通过尺规作图作出来吗？没有了。

现在，我们得到了尺规作图能作出的所有线段长度集合。

因为

所以尺规作图不可能解决立方倍增问题。

（在严谨的数学家看来，这个不属于也是需要证明的，不过，我不是严谨的数学家，于是我就不证明了。哈哈）

那么，立方倍增问题就真的无解了吗？

也不是，我们有两个途径，一个是物理学的，一个是数学的。

先说物理学怎么解决这个问题的。

特别简单。因为

≈1.2599，那么我们就按照1.26长来建造祭坛即可。

因为任何建造都不可能精确到无穷位，它终究是要近似的。

甚至，连原来的祭坛边长也是不可能测量准确的，也只是一个近似值。

既然如此，用1.26来建造祭坛已经非常准确了。

其余部分，物理学上叫误差。

哈哈，哈哈，哈哈。

再说数学怎么解决这个问题的。

数学解决问题的办法是，使用除了直尺和圆规以外的工具。

（已经证明：直尺和圆规不能胜任，那么我们就拿多一些工具嘛）

突破尺规，办法就非常非常多了。我最喜欢下面这个办法。

我相信聪明的读者一眼就能看出来。

至于怎么做抛物线，虽然不能用尺规，但通过机械的办法就可以很精确做到。