三维坐标系（有没有哪些函数）

学霸小明在参加数学讨论会时，突然被以下三个问题难住了，

有个函数图像，你明明知道存在，也知道大概什么样子，就是画不出来？

有个函数图像，是周期函数，但不是常值函数，却没有最小正周期？

有个函数图像，处处不连续，处处不可导，任何区间不可求定积分？

这三个问题的答案，你都知道吗？

其实答案是同一个函数。读完接下来关于奇妙函数的介绍，你就明白了。

数学中有很多函数性质独特，图像令人叹为观止。选取有代表性的几个，逐一进行解释。

一、心形曲线。函数的图形是心形，非常浪漫。据说，经常被理科生拿来向心仪的女孩表白。这类曲线的函数解析式或者曲线方程有多种表达方法。

1、二次曲线型。类似于x^2 –|x|y + y^2 = 4的。可在|x|y前加一个小于2的系数，

如x2 –1.3|x|y + y2 = 4，还可使图形上部更凸一些。

当然，还可以继续变形，方程改成一个更加形象的不等式，17 x^2 – 16|x|y + 17 y^2 < 225 。不等式表达的阴影部分就是心形。

值得一提的是，二次函数型的心形曲线，在今年北京高考中成为了一道解答题。考试以来，一直被人津津乐道，具体考题如下图，

2、笛卡尔提出的极坐标方程r=a(1-sinθ）。a可以任意取值，最简单的心形表达式：r = 1 – sinθ。

有个凄美的传说，笛卡尔曾经给公主写过一封信，信的内容就是这个方程，公主一看到信就明白了，发生了师生恋。只不过，最后，笛卡尔没得到国王的祝福，结局很悲惨。

3、还有一种比较简洁的表达，极坐标下的r=arccos(sinθ)。可以说是极坐标下最简洁的表达式了，利用反余弦和正弦的复合即可。函数图像如下：

4、心形图还可继续升级到三维立体中。三维立体坐标系下的方程为：(x^2+9y^2/4+z^2-1)^3-x^2z^3-9y^2z^3/80=0。在三维立体坐标系下，心形图更加形象、逼真。

三维坐标系下的曲线方程

二、分手函数。与心形函数相对应，在心形曲线基础上衍生出来的，解析式也是在第一种心形解析式上加入了一部分，使得心形图中出现裂痕。据说，可以作为理科生分手的信号。曲线方程为：17 x^2 – 16|x|y + 17 y^2 + 150/|5 x + sin(5 y)| < 225。

三、黄金螺旋线，又称斐波那契螺旋线。以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个 90 度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。斐波那契数列的递推公式为F（n）n=F（n-1）+F（n-2）。通过数学证明，可以得出，按照菲波那切数列画出的曲线，第二个圆的半径与前一个圆的半径之比是黄金分割数，在艺术领域极具审美价值，因而又称为，黄金螺旋线。

黄金螺旋线有很多应用，苹果的LOGO就是一个典型例子。完全利用黄金螺旋线中的圆就可以拼成最后的苹果标志。

更详细的画法

四、蝴蝶曲线。

极坐标方程为：

参数方程为：

取e约等于2.7，可得函数图像如下：

五、双螺旋曲线。曲线方程和图像，如下图。

六、太极曲线。通过以下方程，可以得出，

七、狄利克雷函数。这个函数就是开篇提到的那个答案，这个函数图像算不上多么美丽，但是性质非常奇妙，而且解析式非常简单，只要学过实数都能看懂。当x是有理数时，函数值取1；当x取无理数时，函数值取0。解析式如下图，是个分段函数。

但是，如果你稍微琢磨一下，就会发现，怎么画图都不对，无理数和有理数之间有间隔吗？比如√2相邻的是哪个数字呢？细思极恐。真实的图像，可以说是，只可意会不可言传。通过严格数学定理可知，图像性质上表现为处处间断，处处不可导，无法求定积分，明明感觉知道它的样子，却又无法画出来。下图所画的图像，当然不是准确的，只是感觉上的样子。

狄利克雷是数学史上第一位重视概念、并有意识地“以概念代替直觉”的人。狄利克雷函数提出，标志着数学从研究“算”转变到了对“抽象问题”的研究上。

美丽的世界，奇妙的函数！