数列递推公式
我们都知道，
数列的给出有三种方式，
穷举、通项和递推。
做多了数列就感觉，
穷举法，
单纯的是不是一个笑话？
见过一项一项给出项来的么！
通项公式
给出又太直接了，
给了通项，
总感觉对你的考验，
缺少了点挑战……
所以，
数列的递推公式，
成了每个学数列的孩子，
怎么也绕不过的坎。
其实，
递推公式，
我们说得实在太多了，
连高观点下的，
“不动点”和“特征根”，
也都早早被我们拿下。
那数列递推，
还能剩下啥？
想了想，
便也只有周期了
……
周期数列
对于一个数列{an},
如果存在一个常数T，
对于任意正整数n>N，
恒有an+T=an,
则称数列{an}是从第n项起的周期数列。
T的最小正值为最小正周期，
一般就简称周期了。
①若N=1,称{an}为纯周期数列；
②若N>2,称{an}为混周期数列。
01
和等差数列相对应的，
就是最常见的，
等和型递推式了，
这也是较为常见的，
摆动数列的递推式。
只是连续k项之和为定值，
其实可能很多的同学，
并不会想得太多。
上述结论看起来可能不太舒服的，
但其实，
意思还是挺清晰。
简单可以这样说：
若一个数列任意连续k项之和为定值，
则该数列为周期数列，
且周期T=k.
02
与等比数列相对应的，
当然就是等积型了。
也是一个挺好的周期性质，
只是别忘了，
和等差一样，
那个连续多项之积的结论：
若一个数列任意连续k项之积为定值，
则该数列为周期数列，
且周期T=k.
其实，
类似等比的，
还有一个非常好看的结论：
这个结论，
是不是与“等比中项”
有些相似了呢。
03
其实这种，
将等和与等差相联系的式子，
在平时还是挺常见的，
就像是下面的这个题：
这里直接得到的周期，
可能让很多孩子迷惑不解。
那么有现在这个清楚的结论，
一切又都信手拈来。
所以如果有可能，
希望你也能好好记住，
上面的这组结论：
如果一个数列连续k项之积与这连续k项之和的比值为定值，则数列必为周期数列，
且周期T=k.
有了这样清晰的思路，
一切都是水到渠成，
瞬间秒解。
04
其实，
看到这个递推式，
很自然地就想起了，
an=an-1+an-2,
斐波那契数列，
这个与黄金分割，
无限接近、
近乎完美生活化的数列递推。
斐波那契数列
我没有像很多人一样，
无聊地绞尽脑汁，
想方设法地求着它的通项公式，
而是更加注重，
中学数学里，
它应用的样子。
就像是那个，
多年来一直萦绕在脑海里，
那个看似无聊“走台阶”的好题。
但是现在，
不想告诉你[呲牙]。
05
其实很多人可能会都记得，
这种分式递推最高端的，
特征根。
确实的，
我也是一直钟情，
高观点下的那些数学思维。
只是现在想强调的，
如果遇到特征方程无解，
就要考虑周期的特征。
就像下面这个思路，
如果没有周期的感觉隐隐地在心里，
这种思路的推导，
哪里还会那么有底气？
上面列举了13种周期，
应该都是中学数列中比较常见的。
也因为有了周期，
“素人素言”的数列专题，
就做得很完善了。
而且我也相信，
当求通项已弄得人尽皆知，
数列的周期，
将会在高考试卷中悄然兴起。
所以很希望，
学习过数列的孩子，
如果有缘，
翻到“素人素言”，
就认真学习素言的经典。
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