多项式乘法（这类多项式怎么因式分解）

形如A×B×C×D+n(A，B，C，D为一次二项式，n为整数)多项式的因式分解，没有经验的人首先想到的是先计算，这种做法显然是欠妥的，因为首先单说计算A×B×C×D就是件麻烦事，何况计算完成后，得到的多项式是一元四次多项式，此时再想分解可就难上加难了．怎么办呢？先看如下具体例子：

分解因式：(x-3)(x-1)(x+2)(x+4)-144.

分析：要想进行因式分解，显然需要对(x-3)(x-1)(x+2)(x+4)进行变形，而变形的手段就是把括号去掉，但把括号全部去掉将不胜其烦，显然不是明智之举．而不去括号又变形不了，怎么办呢？来个折中——去掉一半留下一半，也就是说去掉两个留下两个，即两个两个进行相乘计算，把四个括号相乘化为两个括号相乘．

究竟把哪两个两个相乘呢？在没有任何经验前只能一一尝试了．

（1）如果是把(x-3)(x-1)与(x+2)(x+4)分别相乘，则结果变成了：

(x^2-4x+3)( x^2+6x+8)，

这两个因式除了二次项相同外，一次项和常数项没什么特殊关系；

（2）如果是把(x-3)(x+2)与(x-1)(x+4)分别相乘，则结果变成了：

(x^2-x-6)( x^2+3x-4)，

这两个因式也是除了二次项相同外，一次项和常数项也没什么特殊关系；

（3）如果是把(x-3)(x+4)与(x-1)(x+2)分别相乘，则结果变成了：

(x^2+x-12)( x^2+x-2)，

这两个因式除了二次项相同外，一次项也相同，此时把x^2+x作为整体，设为y，则原式可化为：

(y-12)(y-2)-56，

此时再进行分解就没啥困难了．

解：原式=[(x-3)(x+4)][(x-1)(x+2)]-144

=(x^2+x-12)( x^2+x-2) -144

设x^2+x=y，则

原式=(y-12)(y-2)-144

=y^2-14y+24-144

=y^2-14y-120

=(y-20)(y+6)

=(x^2+x-20)( x^2+x+6)

=(x-4)(x+5)( x^2+x+6).

温馨提示：A×B×C×D+n因式分解的一般方法是：将A×B×C×D分为两组结合计算，使得计算后这两组的二次项、一次项分别相同，再把相同的二次项与一次项视为整体(可设为y)再次计算，化为关于y的二次三项式，然后运用十字相乘法进行分解，再由换元时的代数式换回来x，此时注意再考虑各因式是否还能分解？

练习：分解因式：

（1）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1；

（2）(2x-3)(2x-1)(x+2)(x+1)+6；

（3）(x^2-1)(x^2+4x+3)-10.