第二型曲面积分（吃透这几个方法）

对于积分，首先要有微元法的思想，先简单地引入定积分定义来源：分割-做乘积-求和-取极限。而微元法思想，一直贯穿考研数学的核心，即使到后面的概率论中求概率密度和分布函数，依然需要用微元法的思想。万物皆可微。

对于变换“元”的方法有哪些呢？

时间“元”与空间“元”，点元-线元-面元-体元，均匀-非均匀，直线-曲线。对于极坐标系还有角“元”和弧“元”等等。

根据题目明确对何种元素进行分割？是把曲线分割成很多个一小段，还是把块切成很多个一小薄片？先把分割后某一点处的微元表示出来，然后积分区域累加，最后选用合适方法计算所表示出来的积分。

第一型第二型曲线积分依然要运用微元法的思想。

1.对于第一型曲线积分，其物理意义是求曲线杆的质量，几何意义是对弧长的曲线积分。

定义和性质如下：

基本计算方法：直接法、利用奇偶性、利用对称性、利用形心坐标

对于（1），ds=根号下（dx+dy），提出一个dt到根号外，同时在根号内同除dt，就可得到（1）式。

对于（2）是把x看成参数：y=y(x),x=x。ds=根号下（dx+dy），提出一个dx到根号外，同时在根号内同除dx，就可得到（2）式。

对于（3）把θ看成参数。

4.利用形心，纵坐标或横坐标比较明显的情况下，分母表示L的周长容易求的情况下，考虑此法。

有关第一型曲线积分的题型一般用上述四种方法即可求解，比较简单。

2.对于第二型曲线积分，其物理意义是变力沿曲线做功。

由于是变力（有大小也有方向）和曲线，所以在计算过程中要注意方向。相对于第一型曲线积分是对弧长（只有正）的线积分，而第二型曲线积分则是对坐标（有正有负）的线积分。

第二型曲线积分定义和性质如下：

计算方法有如下几种，具体题目依据其已知情况选用组合不同方法。

【直接法是通过变量参数化后计算定积分，起点为下限，终点为上限】

【注：使用格林公式需要：L需要满足光滑封闭正向曲线，正向：如果是单连通区域，逆时针为曲线正向，如果是复连通区域，则外圈逆时针，内圈顺时针。总而言之，内圈外圈都要满足你在“跑步时”，左手是靠在积分区域内侧。可以画图理解：箭头方向为正方向，左手均靠在区域（阴影部分）内侧。 P(x,y),Q(x,y)在区域内有一阶连续偏导数，即区域内没有瑕点（无定义点），满足以上两个条件才能用格林公式。如果：曲线非闭合，则补线闭合后再用格林公式，如果存在瑕点，则挖去瑕点变成复连通区域再用格林公式】

【注：两类曲线积分的联系，需要求有向曲线弧在某点处的切向量的方向角cosα=正负（dx/dt）/((根号下dx+dy)/dt）,计算量大，一般不用此法】

典型例题：例1，利用积分与路径无关。

两种解法如下，第一种解法简要变换路径亦有两种。

解法二如下：

例2、利用格林公式以及补线用格林公式

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